统计学(三) 假设检验

1. 相关概念

假设检验 (hypothesis test)

先对总体参数提出某种假设,然后利用祥本信息判断假设是否成立的过程。

假设 (hypothesis)

对总体参数的具体数值做出的猜测陈述。

• 原假设 (null hypothesis)：通常将研究者想收集证据予以反对的假设，记作$H_0$
• 备择假设 (alternative hypothesis)：通常将研究者想收集证据予以支持的假设，与原假设对立，记作$H_1$

根据备择假设中对总体参数做出的假设区间（方向性）可以将假设分为：

• 单尾/单侧检验 (one-tailed test)：备择假设具有特定的方向性（含有符号“>”，"<"等）

• 双尾/双侧检验 (two-tailed test)：备择假设没有特定的方向性（含有符号“$\neq$”等）

假设检验的决策

第Ⅰ类错误 (type Ⅰ error)

当原假设为真时拒绝原假设，又称弃真错误，第Ⅰ类错误犯错概率记作 $\alpha$

第Ⅱ类错误 (type Ⅱ error)

当原假设为假时未拒绝原假设，又称取伪错误，第Ⅱ类错误犯错概率记作 $\beta$

显著性水平 (level of significance)

第Ⅰ类错误犯错概率，记作 $\alpha$

通常用显著性水平度量假设检验结论的可靠性

检验统计量 (test statistic)

用以对假设作出决策的样本统计量，实际上是总体参数的点估计量

标准化检验统计量通常简称为检验统计量（检验统计量标准化后可用标准正态分布校验，点估计量的抽样分布满足中心极限定理）

拒绝域 (rejection region)

能够拒绝原假设的检验统计量的所有可能取值的集合，由显著性水平 $\alpha$ 围成的面积

临界值 (critical value)

拒绝域的边界值

P值 (p-value)

也称观察到的显著性水平 (observed significance level)，第Ⅰ类错误犯错概率的实际观测值

• 左侧检验—— $H_0$：$\mu\geq\mu_0$；$H_1$：$\mu<\mu_0$

  $P =P(z \leq z_{true}| \mu=\mu_0)$

• 右侧检验—— $H_0$：$\mu\leq\mu_0$；$H_1$：$\mu>\mu_0$

  $P=P(z \geq z_{true}| \mu=\mu_0)$

• 双侧检验—— $H_0$：$\mu=\mu_0$；$H_1$：$\mu\neq\mu_0$

  $P=2P(z \geq |z_{true}|| \mu=\mu_0)$

假设检验的步骤

1. 选择总体参数，作出原假设 $H_0$ 和备择假设 $H_1$；确定显著性水平 $\alpha$

2. 计算抽取的随机样本的检验统计量

3. 由显著性水平 $\alpha$得到临界值，确定拒绝域

4. 比较检验统计量与临界值，做出决策

   检验统计量落入拒绝域，则拒绝原假设 $H_0$；

   检验统计量未落入拒绝域，则不拒绝原假设 $H_0$；

5. 或计算 $P$值，与给定显著性水平$\alpha$ 比较，做出决策

   单尾检验：

   $P$ 值$< \alpha$ ，则拒绝原假设 $H_0$；

   $P$ 值$> \alpha$ ，则不拒绝原假设 $H_0$；

   双尾检验：

   $P$ 值$< \frac{\alpha}{2}$ ，则拒绝原假设 $H_0$；

   $P$ 值$> \frac{\alpha}{2}$ ，则不拒绝原假设 $H_0$；

   理解：

   当$H_0$为真拒绝$H_0$的概率小了($\alpha$)，则$H_0$为假不拒绝$H_0$的概率大了($\beta$)，因此拒绝 $H_0$

2. 总体均值的假设检验

graph LR;
0[均值] --- 1[大样本] ---> a[正态分布检验];
0 --- 2[小样本] --- 已知方差的正态总体 ---> a;
2 --- 未知方差的正态总体 ---> t检验

正态分布的检验

条件：

大样本 或 已知总体方差且总体正态分布的小样本

步骤：

例题

1. 提出假设（左侧检验）

   $H_0:\mu\geq1.35 ,H_1:\mu<1.35$

2. 计算检验统计量

   $\overline x =1.3152,s=0.3657$

   标准化检验统计量

   

3. 根据临界值做出决策

   由显著性谁平 $\alpha=0.01$，查标准正态分布表得到 $z_\alpha=z_{0.01}=-2.33$，拒绝域为 $z\leq-2.33$

   因此，检验统计量 $-2.6061$在拒绝域内，拒绝原假设 $H_0$

4. 根据$P$ 值做出决策

   $P =P(z \leq -2.6061| \mu=\mu_0)=0.04579$，$P< \alpha=0.01$ ，拒绝原假设 $H_0$

t检验

目的：

通过比较不同数据的均值，研究两组数据之间是否存在显著差异。

条件：

未知总体方差且总体正态分布的小样本

步骤：

例题

1. 提出假设（双侧检验）

   $H_0:\mu=12 ,H_1:\mu\ne12$

2. 计算检验统计量

   $\overline x =11.89,s=0.4932$

   $t$检验统计量

   

3. 根据临界值做出决策

   由显著性谁平 $\alpha=0.05$，自由度 $n-1=10-1=9$ ，查 $t$ 分布表得到 $t_\alpha(n-1)=t_{0.025}(9)=-2.262$，拒绝域为 $|t|\geq2.262$

   因此，检验统计量 $0.7053$ 不在拒绝域内，不拒绝原假设 $H_0$

4. 根据$P$ 值做出决策

   $P =P(t \geq |-2.6061|| \mu=\mu_0)=0.498$，$P>\alpha=0.05$ ，不拒绝原假设 $H_0$